Conférence-débat : Apprentissage de la démonstration : de la vérité des énoncés à la validité des raisonnements

Denis TANGUAY, enseignant chercheur à l’UQAM (Université du Québec à Montréal).

Université du Québec à Montréal Département de mathématiques, section didactique

RÉSUMÉ

Pour Duval (1995), l’apprentissage de la démonstration passe par la capacité à juger de la validité d’un raisonnement selon des critères intrinsèques, autres que l’apport d’informations empiriquement validées ou l’établissement d’un consensus au sein d’un groupe. Le respect des règles logiques d’organisation des propositions fait certes partie de ces critères, mais « la connaissance de ces règles ne rend guère sensible au caractère valide ou non valide d’un raisonnement, pas plus que celle des règles de grammaire n’aide la plupart des élèves à écrire correctement » (op. cit., p. 212). Comment amener l’élève à avoir, de ce que Duval et Egret (1989) appellent « la structure profonde de la démonstration », une compréhension opératoire, au sens de Fischbein (1982), c’est-à-dire telle que les mécanismes logiques sous-jacents parviennent, dans l’entendement de l’élève, à une forme de cognition directe, globale, efficace et immédiatement disponible ?

Adoptant en partie les orientations de recherche proposées par Duval, sur la base des réflexions initiées dans Tanguay (2005) et poussées plus loin depuis, autour de l’obstacle que nous identifions comme celui de « la prégnance de la valeur de vérité », nous avons conçu une séquence de trois tâches à travers lesquelles les élèves travaillent l’organisation déductive fine des preuves de trois résultats liés, en géométrie du secondaire. Les preuves ont été choisies parce qu’elles demandent une coordination relativement subtile entre implications et réciproques.

La séquence a été expérimentée au Québec aux printemps 2005 et 2006, dans des classes de 4e et 5e secondaires (15-17 ans). De l’analyse des données de recherche alors recueillies, il résulte que : ... la structure locale du raisonnement par enchaînement d¹inférences n’est ni spontanément, ni aisément comprise des élèves ; ... les élèves sous-estiment notamment le rôle des règles d’inférence : les équipes qui prennent les règles en compte à chaque étape réussissent mieux que celles qui cherchent à déterminer les règles après coup ; ... les équipes qui travaillent « à reculons », de l’énoncé-cible vers les hypothèses, sont aussi plus performantes ; ... la confusion logique entre implication et réciproque ne s’est pas manifestée dans le contexte particulier de ces tâches ; ... les discussions entre membres d’une même équipe ont pu porter sur des aspects précis, pointus de l’organisation déductive. Parmi d’autres, cet indicateur suggère que le type de travail proposé dans la séquence est susceptible d’améliorer chez l’élève sa maîtrise de la structure déductive en démonstration.